Distribusi binomial

2.1  Pengertian Distribusi Binomial

Distribusi Binomial ditemukan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernauli. Oleh karena itu distribusi binomial ini dikenal juga sebagai distribusi bernauli.

Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Suatu distribusi Bernoulli dibentuk oleh suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat: Keluaran (outcome) yang mungkin hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal”, Jika probabilitas sukses p, maka  probabilitas gagal q = 1 – p.

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.

Distribusi Binomial digunakan untuk data diskrit (bukan data kontinu) yang dihasilkan dari eksperimen Bernouli, mengacu kepada matematikawan Jacob Bernouli. Peristiwa pelemparan mata uang (koin) yang dilakukan beberapa kali adalah contoh dari proses bernouli, dan hasil (outcomes) dari tiap-tap pengocokan dapat dinyatakan sebagai distribusi probabilitas binomial. Kejadian sukses atau gagal calon pegawai dalam psikotest merupakan contoh lain dari proses Bernouli. Sebaliknya distribusi frekuensi hidupnya lampu neon di pabrik anda harus diukur dengan skala kontinu dan bukan dianggap sebagai distribusi binomial.

Kemudian adapun distribusi binomial negatif  adalah suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi-kondisi berikut: Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas. Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal.

Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu konstan dalam setiap percobaan (trial).                                              

Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total k sukses diperoleh, dimana k berupa bilangan bulat tertentu.

Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah percobaannya yang acak.

Distribusi Binomial Negatif, bila percobaan bebas berulang dapat menghasilkan sebuah sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 – p, maka distribusi probabilitas dari variabel acak X jumlah percobaan dimana sukses ke-k terjadi.

2.2  Ciri-ciri Distribusi Binomial

Distribusi Binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri percobaan binomial atau bernaulli trial sebagai berikut:

1.      Setiap percobaan hanya mempunyai 2 kemungkinan hasil yaitu sukses (hasil yang dikehendaki), dan gagal (hasil yang tidak dikehendaki).

2.      Setiap percobaan bersifat independen atau dengan pengembalian.

3.      Probabilita sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p. Sedangkan probabilita gagal dinyatakan dengan q, dan jumlah p dan q harus sama dengan satu.

4.      Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.

2.3  Penerapan Distribusi Binomial

Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat terapkan yaitu:

1.      Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda benar dalam ujian pilihan ganda.

2.      Jumlah asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi.

3.      Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim.

Adapun rumus distribusi binomial adalah:

b(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,....,n

ket:

n : banyaknya ulangan

x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x

p : peluang berhasil dalam setiap ulangan

q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

2.4  Syarat Distribusi Binomial

Secara formal, suatu eksperimen dapat dikatakan eksperimen binomial jika memenuhi empat persyaratan:

1.      Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed number of trial)

2.       Setiap ekperimen selalu mempunyai dua hasil ”Sukses” dan ”Gagal”. Tidak ada ‟daerah abu-abu‟. Dalam praktiknya, sukses dan gagal harus didefinisikan sesuai keperluan, Misal:

·         Lulus (sukses), tidak lulus (gagal)

·         Setuju (sukses), tidak setuju (gagal)

·         Barang bagus (sukses), barang sortiran (gagal)

·         Puas (sukses), tidak puas (gagal)

3.      Probabilitas sukses harus sama pada setiap eksperimen.

4.      Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain, artinya satu eksperimen

tidak boleh berpengaruh pada hasil eksperimen lainnya.

Untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlukan dua hal:

1.      Banyaknya/jumlah percobaan/kegiatan;

2.      Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal.

Distribusi probabilitas binomial dapat dinyatakan sebagai berikut:

Dalam sebuah percobaan Bernoulli, dimana p adalah probabilitas “sukses” dan q = 1 – p adalah probabilitas gagal, dan jika X adalah variabel